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矢量控制框图
克拉克变换与逆运算
克拉克变换
我们知道，交替开关的MOS管可以实现电机的转动，而这些交替开关的MOS管是以极其快的速度在周期性进行的，把这些周期性的开启和关断过程联系起来，并且对其各个相进行单独观察，就可以得到三个相A、B、C的电流随时间变换的曲线，如下图所示，他们之间存在120°的相位差。
换一个角度来思考此问题，实际上，我们只要能够控制这个相位差为120°的sin状波形，就能够实现针对电机的控制。
而克拉克变换就是实现这个波形控制的第一步。
我们知道，虽然说是要控制120度的sin状型波形来实现电机控制，但是只要仔细想一想，就会知道这个波形其实是极难控制和改变参数的。首先相与相之间是相互耦合的，MOS管一打开就会至少同时打开两个相，所以只想改变一相来实现电机控制是肯定不行的，必须得三相捷联起来一起改变，才能够实现电机的控制。所以，实现电机控制的问题就会变成很复杂。
显然，人的本性不容许我们把问题进一步复杂化，因此，我们需要对这个问题进行降维，尽量把这个多变量耦合的问题降解为最好是单一变量的控制问题，克拉克变换就是想做这件事。
所谓克拉克变换，实际上就是降维解耦的过程，把难以辨明和控制的三相相位差120°电机波形降维为两维矢量。
它的思路其实特别的简单，第一就是把三相随时间变换的，相位差为120°的电流波形抽象化为三个间隔120°的矢量。
第二就是利用三角函数对矢量进行降维，降维到两个坐标轴，从此复杂的三相变化问题就降解为了α-β坐标轴的坐标上的数值变化问题。
上图中，左边是我们把三相120度相位差的sin状波形抽象化为矢量之后的样子，而右边就是我们需要把这三个矢量进行投影的坐标轴。只要我们把三个矢量都投影到坐标轴上，那么，一个三矢量问题就变成一个二维坐标平面问题。
下面我们来进行一次投影过程的详细推导。
万恶之源的开始，就是三角函数：
显然，针对α-β坐标系中α轴，有：
针对α-β坐标系中β轴，有
把上面的投影结果列成矩阵形式，有：
这就是克拉克变换的第一步，作投影。
上面的步骤都很简单，但是我们会发现，往往最终论文或者资料上克拉克变换的体现形式都不是上面这样子，而是会加上一个系数，如$\frac{2}{3}$（等幅值变换系数），或者$\sqrt{\frac{2}{3}}$（等功率变换系数）。分别对应两个变换方式，分别为等功率（系数：$\sqrt{\frac{2}{3}}$）变换方式和等幅值（系数：$\frac{2}{3}$）变换方式。这里仅讨论等幅值变换加上系数后，原本的投影式变为：
这就是克拉克变换的等幅值形式。
何为等幅值变换？用α相电流输入1A电流的特例来举例，当电流输入时候，根据基尔霍夫电流定律（电路中任一个节点上，在任意时刻，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和，如下图），有：
ia+ib+ic=0
设定ia为-1，则根据上面的式子，有ib和ic为1221，列成矩阵形式后，如下所示：
将这个ia,ib,ic的参数带入到我们上面的 直接投影式子中，得到：
这就看出问题了，显然，尽管矢量a与α轴重合，但是由于b,c相电流投影的存在，导致在a相输入1A电流，反应在α轴上的电流并不是等赋值的1A，而是−3/2。
因此，为了让式子等辐值，即使得a相1A时，反应在α轴上的电流也是1A，我们就得乘上系数2/3，针对上面的投影式乘上2/3后，式子变换为：
这就是克拉克变换的等幅值表现形式。
基于等赋值变换，我们就能够得到α、β相位与ia,ib,ic的关系，已知等赋值变换式：
移项
又根据上面所提到的基尔霍夫电流定律：
通过上述步骤，成功推导Iα=ia。 进一步的，可求Iβ，已知：
又根据上面所提到的基尔霍夫电流定律：
综合上述步骤，我们已经得到了列出ia,ib,ic电流与Iα,Iβ电流的关键关系式，总结如下：
可以看出，在式子中，我们消去了变量ic，这是因为由于基尔霍夫电流定律的存在，我们并不需要知道所有三相电流，我们只需要知道两相电流就能够求解得到另外一相的电流，反映在硬件上，我们就可以省去一路的电流传感器！节省了成本！
克拉克逆变换
我们已经知道了克拉克变换后的Iα、Iβ，我们在此基础上研究克拉克逆变换，首先，ia的逆变换我们是不需要研究的，因为我们已经知道了Iα=ia。
进一步的，我们研究逆变换ib：
最后，还是根据基尔霍夫电流定律：ia+ib+ic=0，我们得到逆变换ic：
则克拉克逆变换三式皆得，总结如下：
帕克变换与反帕克变换
帕克变换
由克拉克变换，实际上我们已经成功对电机的正弦驱动三相曲线进行降维度，使之变成了一个两轴坐标问题，并且得到其转换关系。但是只有它是不够的，我们还需要将这个理论和旋转电机对应起来，也就是建立电机旋转时的数学模型。
我们需要知道能够使得电机旋转的IαI和Iβ电流输入规律，如果我们可以知道这个能够使得电机旋转的Iα和Iβ电流输入规律，我们就可以通过克拉克逆变换，把这个旋转情况下的Iα和Iβ逆变换为ia,ib,ic三相电流波形，从而就实现了用把ia,ib,ic降维后的IαIα和IβIβ实现对电机的控制，那么问题就没有原来我们想的直接控制ia,ib,ic来控制电机旋转来得复杂了。
帕克变换就是能够帮助我们求得各种旋转情况下的Iα和Iβ。
其实整个帕克变换的思路很简单，首先，我们把电机的定子线圈上固定一个Iα−Iβ坐标系，如下图左边的图所示，这时候，我在坐标系的右边放上一个转子，如下图右边所示，如果此时转子被吸引且不动，那么在Iα−Iβ坐标系中就一定有一个Iα和Iβ值是能够对应转子现在的状态的。
但是，显然，我们的问题不是不动那么简单，在实际的应用中，我们的转子是在转动的，因此，对应转子状态的IαIα和IβIβ值实际上在一直变化，变化的东西是不好描述而且是讨厌的，如最开始，我们很讨厌ia,ib,ic三相相位差120°的变化波形，我们用克拉克变换对它进行了降维描述。
可是在这里，我们发现降维后尽管少了一个变量，但是只要电机转动，Iα和Iβ就依然在一直变化，依然很讨厌，那么这时候，懒惰的人类就又开始想办法，有没有办法能够用一个定值来描述无刷电机的旋转呢？也就是说，能不能对这个电机系统进行进一步的降维，使得我们甚至不用考虑变化的Iα,Iβ只需要有一个定值就能够描述整个电机系统的转动状态？
答案是有！帕克变换就是想带我们做这件事！！
帕克在我们刚刚固定在电机定子上的Iα−Iβ坐标系上，另外新建了一个坐标系，我们称之为Iq−Id坐标系，这个坐标系是可以随电机转子转动的！它与电机转子固联！！如下图所示：
那么我们就有了两个坐标系了，一个是固定在定子上的坐标系Iα−Iβ，一个是固定在转子上的坐标系Iq−Id。
进一步的，我们把两个坐标系画在一起，我们就有如下图所示的坐标：
其中，Iq−Id坐标系随转子转动，D轴在此处设定为指向电机的N级，Iq−Id坐标系因转动而造成的与Iα−Iβ坐标系的差角θ，就被称为电角度！
那么，很轻松的，还是利用简单的三角函数构建的旋转矩阵，在知道电角度的前提下，我们很容易就能够把iq−id坐标系上的值映射（旋转）到iα−iβ坐标系上！式子如下：
因此，在知道电角度的前提下，我们就可以用iq,id坐标系上的定值来描述电机的旋转！这正是我们一直渴望的电机旋转数学模型！
反帕克变换
根据矩阵乘法，取逆，我们可进行帕克逆变换，也就是知道iq,id值和电角度的前提下，反求iα,iβ式子如下：
写成等式结果：
在实际的FOC应用中，电角度是实时有编码器求出的，因此是已知的。Iq和Id可以合成一个矢量，加上电角度（旋转）的存在，因此可以看成一个旋转的矢量。在通过Iq,Id和电角度求得Iα和Iβ后，我们就可以通过前面提到的克拉克逆变换求得ia,ib,ic的波形，这正是FOC的基本过程！
通常在简单的FOC应用中，我们只需要控制Iq的电流大小，而把Id设置为0。此时，Iq的大小间接就决定了定子三相电流的大小，进而决定了定子产生磁场的强度。进一步我们可以说，它决定了电机产生的力矩大小！
而iq是旋转的矢量；在前面说了，同时Iq又会间接影响磁场的强度，这正是FOC的名称磁场定向控制的由来。
励磁和力矩：d、q轴电流的不同
如图所示，d轴电流平行于永磁体磁场方向，q轴电流正交于永磁体磁场方向。
那么d轴的电流可以用于磁化或消磁永磁体（并不是真的消磁，而是d轴电流本身产生的磁场可以抵消永磁体的磁场）；
q轴的电流可以用于产生使磁体旋转的力矩。
在控制中，我们通常把$U_d$控制在0，只保留$U_q$。
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