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线性定常微分方程求解
什么是线性定常微分方程？
线性：af(x)=f(ax);
f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)
定常：方程的系数不随时间变化
除此之外还有复数的概念、欧拉公式等知识点，请自行查阅资料。后文如果在哪里用到这些知识我会尽量指出来的。
拉普拉斯变换
定义：$F(s) = \int_0^{\infty} f(t) \cdot e^{-st} dt$，其中s为复数。
拉普拉斯变换分为单边拉普拉斯和双边拉普拉斯，区别在于它们的积分下限是否包括0~-∞。在控制领域中由于时间很少为负数，所以用的都是单边变换。
如此变换过后，原本二维的图像变成了三维，以F(s)为Z轴的一个三元函数。特别的，当σ=0时，F(s)=F(jω)（第三个图），F(s)与jω形成一个复平面。（实际上，σ=0是拉普拉斯变换的一个特例，它又叫傅里叶变换）
传递函数
递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。求传递函数的核心是将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，再整理成$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$的形式。
如何得到传递函数
首先利用拉普拉斯变换的线性性质和微分性质：
- 线性性质：$\mathcal{L}{af(t)+bg(t)}=a\mathcal{L}{f(t)}+b\mathcal{L}{g(t)}$；
- 微分性质：$\mathcal{L}{\frac{df(t)}{dt}}=sF(s)-f(0)$，在零初始条件（$f(0)=0$）下，$\mathcal{L}{\frac{df(t)}{dt}}=sF(s)$,
对系统的输入和输出方程做变换（以震荡电路为例）：
RC电路
- 输入：电压源$u(t)$；
- 输出：电容电压$y(t)=v_C(t)$；
- 微分方程：$RC\frac{dy}{dt}+y = u$。
对RC电路微分方程变换：
- 左边：$\mathcal{L}{RC\frac{dy}{dt}+y}=RCsY(s)+Y(s)$；
- 右边：$\mathcal{L}{u}=U(s)$。
将拉普拉斯变换后的方程变形，得到传递函数。
RC电路传递函数：
- $RCsY(s)+Y(s)=U(s)$；
- 提取$Y(s)$：$Y(s)(RCs + 1)=U(s)$；
- 解得：$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{RCs + 1}$。
传递函数的意义（拉普拉斯逆变换）
对传递函数做逆变换即可回到原系统方程。具体过程见下“传递函数的意义（极点）”
传递函数的意义（极点）
极点就是传递函数分母为0时求得的s的值。
如一个系统的传递函数为$G(s)=\frac{s + 2}{s + 1}$,当s+1=0时，s=-1为该传递函数的极点。
不过大部分情况我们的传递函数长这样：${\Large G(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}=\frac{\frac{1}{2i}}{s + 1 – i} + \frac{ \frac{-1}{2i}}{s + 1 + i}}$,（因式分解）
解得：$\begin{cases} s_1=-1+i \\ s_2=-1-i \end{cases}$
如果我们对G(s)做逆变换，得：
$\begin{align}\mathcal{L}^{-1}[G_{(s)}]&= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{s + 1 – i} + \frac{-1}{2i} \cdot \frac{1}{s + 1 + i} \right]\\ &= \frac{1}{2i} e^{(-1+i)t} – \frac{1}{2i} e^{(-1-i)t}\\ &= \frac{1}{2i} e^{-t} (e^{it} – e^{-it})\\ &= \frac{1}{2i} e^{-t} (\cos t + i \sin t – (\cos t – i \sin t))\\ &= \frac{1}{2i} e^{-t} (2i \sin t)\\ &= e^{-t} \sin t \end{align}$
其中第三行到第四行用到了欧拉公式：$e^{ix} = \cos x + i \sin x$。
从逆变换过程（具体来说是第二行$\frac{1}{2i} e^{(-1+i)t} – \frac{1}{2i} e^{(-1-i)t}$）可以看到，极点的实数部分决定了最终结果是$e^{t}$还是$e^{-t}$,而这有决定了最终结果（$e^{-t} \sin t$）是发散还是收敛。我们的目标是做一个控制系统，那当然希望这个系统是稳定（收敛）的，而不是不稳定或临界稳定的。
事实上，当实数部分<0时，系统稳定；
>0时，系统不稳定；
=0时，系统临界稳定。（见左下角坐标系示意图）
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